KÜMELER
Canlı yada cansız aynı tür varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümelerin varlığı anlaşılabilmesi için tanımının iyi yapılması gerekir.
KÜMELERİN GÖSTERİMİ
Kümeler 3 farklı şekilde gösterilir;
1-) Venn Şeması ile Gösterim = Kümenin elemanları kapalı bir eğri içerisinde, her bir elemanın yanına bir nokta koymak şartıyla oluşan gösterim şeklidir.
ÖRNEK: A
2-) Liste Yöntemiyle Gösterme = Liste yöntemiyle gösterim kümeyi oluşturan elemanların { } sembolü içerisinde elemanların arasına virgül konularak yazılmasıyla oluşan gösterim şeklidir.
ÖRNEK: A={a,b,c,d}
3-)Ortak Özellik Yöntemiyle Gösterme = Bir kümeyi oluşturan elemanların hepsinin ortak özelliği vurgulanarak bir küme işareti içerisinde gösterilmesi yöntemidir.
ÖRNEK: A={x | x rakam}
BİR KÜMENİN ELEMAN SAYISI
Bildiğimiz gibi bir kümeyi oluşturan varlık ya da sembollere eleman denir. Eleman olma Î sembolü ile eleman olamama Ï sembolü ile gösterilir. Bu anlamda bir kümenin kaç elemandan olduğunu gösteren sayıya eleman sayısı denir ve s(A) ile gösterilir.
KÜME ÇEŞİTLERİ
1-) Boş Küme = Elemanı olamayan kümeye boş küme denir. Æ veya {} ile gösterilir.
2-) Eşit Küme = Bütün elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir ve “=” ile gösterilir.
3-) Denk Küme= Eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler denir ve “º” ile göterilir.
4-) Alt Küme = Bir kümenin her elemanı başka bir kümede mevcut ise ilk kümeye ikinci kümenin alt kümesi denir.
Alt Kümenin Özellikleri
ü A ÌA Her küme kendisinin alt kümesidir
ü ÆÌ A Boş küme her kümenin alt kümesidir.
ü AÌB ve BÌC ise AÌC dir.
ü AÌB ve BÌA ise A=B dir.
Ayrıca bir kümenin eleman sayısı m olmak üzere bu kümenin alt kümeler sayısı 2m dir. Bir de özalt küme kavramı vardır. Eğer bir kümenin eleman sayısı m ise özalt küme sayısı 2m-1 dir.
5-) Sonlu ve Sonsuz Kümeler: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme, eleman sayısı sonlu olamayan kümeye sonsuz küme denir.
ÖRNEK:
A={x: -1<x<5, xÎZ} olmak üzere s(A)=5 sonlu bir cümledir.
A={x: -1<x<5, xÎIR} kümesi sonlu sayıda elemana sahip olamayıp sonsuz bir kümedir.
KUVVET KÜMESİ
Bir A kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A kümesinin kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir.
ÖRNEK: A:{a, x } kümesinin kuvvet kümesini oluşturalım. A nın alt kümeleri Æ, {a},{x},{a,x} olduğundan P(A)={ Æ, {a},{x},{a,x} } dir.
n ELEMANLI BİR KÜMENİN r ELEMANLI ALT KÜMELERİ
Bir A kümesinin (n³r olmak üzere) r elemanlı alt kümelerinin sayısını pascal üçgeni yardımıyla buluruz.
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısına n´in r´li kombinasyonu denir ve C(n,r)=
= 
dir.
Özellikleri
1 )
2 )
3 )
=2n
KÜMELERDE BİRLEŞİM
İki yada daha fazla kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu yeni kümeye birleşim kümesi denir ve È ile gösterilir
KÜMELERİN KESİŞİMİ
İki yada daha fazla kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu yeni kümeye kesişim kümesi denir ve Ç ile gösterilir.
BİRLEŞİM VE KESİŞİMİN ÖZELLİKLERİ
1-) AÌB ise AÈB=B dir.
2-) AÈB=Æ ise A=Æ ve B=Æ dir.
3-) AÇA=AÈA=A
4-) AÇÆ=Æ ve AÈÆ=A
5-)AÇB=BÇA ve AÈB=BÈA
6-) AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC) ve AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC)
7-) (AÇB)Ì(AÈB)
Birleşim kümesinin eleman sayısı s(AÈB)=s(A)+s(B)-s(AÇB)
İKİ KÜMENİN FARKI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A kümesinde olup da B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir ve AB ile sembolize edilir.
EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan tüm elemanları kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.
TÜMLEME
Bir A kümesine ait olmayıp evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve Atile gösterilir.
Özellikleri
1 ) AÇA=Æ
2 ) AÈ At=E
3 ) (At)t = A
4 ) AÌB ise AtÉBt
5 ) (AÈB)t = AtÇBt
6 ) s(A)+ s(At)=s(E)
KÜMELERDE UYGULAMA
1-) Kümelerde Problemler
A= A dersinden başarılı olanlar B= B dersinden başarılı olanlar olmak üzere
Sınıf mevcudu: x+y+z+t
Yalnız A dan başarılı olanlar: x
Yalnız birinden başarılı olanlar: x+z
Sadece ikisinden başarılı olanlar: y
ikisinden de başarılı olmayanlar: t
En çok birinden başarılı olanlar: x+z+t
En az birinden başarılı olanlar:x+y+z
Adan başarılı olamayanlar: z+t
2-) Kümelerde Taralı Bölge Bulma
* (AuBuC)A
* (BuC)A
* (CA)u(BA)
* ((AnB)U(AnC)U(BnC))(AnBnC)
* ( AB)UC
* A(BC)
